01. 지수법칙과 지수의 확장
🐤 Section 00. Before the start
: 지수함수와 로그함수를 배우기 전, 우리는 먼저 지수와 로그에 대해서 알아야 돼요
그래서 이번 시간에는 지수에 대해 알아볼거예요 😊
🐤 Section 01. 중학교 과정에서의 지수
: 중학교 2학년 때 우리는 처음 지수에 대해서 배웠습니다 (다시 복습해보면..!)
여기서 "지수"라 함은 아래 그림에서 "3"을 말하고,
지수 밑에 있는 "2"를 우리는 "밑"이라고 배웠습니다
그렇다면 지수가 3인것 까진 알겠는데, 지수는 무엇을 의미하는 걸까요?
바로 곱한 횟수를 의미합니다 (물론 지수가 자연수일 때라는 전제 하에요!)
그래서 아래 식을 살펴보면..!
2의 4승이란?
2를 4번 곱한 것으로 해석이 되겠네요 😊
🐤 Section 02. 지수의 확장
: 지금까지 우리는 중학교 과정에서의 지수에 대해서 살펴보았는데요! (생각보다 간단하죠? 😉)
이제는 더 나아가 고등학교 과정에선 지수를 어떻게 배웠는지 살펴볼거예요
중학교 때 우린 자연수 지수에 대해서 배웠습니다
이제는 자연수에서 정수로, 정수에서 무리수로 ··· 실수까지 확장시켜서
지수법칙을 이용하여 함께 알아볼거예요😯
🐤 Section 03-1. 지수법칙
: 첫 번째로 배워볼 지수 법칙은 "밑이 같은 친구끼리 곱할 땐 지수끼리 더한다" 예요
아래 식을 살펴볼까요 ?
아래 식은 a의 3승 곱하기 a의 4승으로 자연수 지수일 때의 곱셈을 보여주고 있어요
이는 "a를 3번 곱한거에 a를 4번 곱해라"라는 뜻으로 a를 총 7번 곱하라는 것을 뜻해요
쉽게, a라는 밑이 같은 친구끼리 곱할 땐 3이라는 지수와 4라는 지수를 더하면 돼요
하나 더 해볼까요?
만약 아래와 같은 식이 있다고 해봅시다!
이를 풀어보면,
밑이 2로 똑같고 곱셈으로 연결되어 있으므로..
밑이 2이고, 지수인 3과 -4를 더한 값인 -1을 지수로 갖는 것이 정답이 되겠네요😊
참고로 !
위와 같이 식을 하나로 합칠 수 있다면, 아래처럼 분리도 가능하겠죠?
🐤 Section 03-2. 지수법칙
: 두 번째로 배워볼 지수 법칙은 "밑이 같은 친구끼리 나눌 땐 앞에 지수에 뒤에 지수를 뺀다" 예요
아래식을 살펴볼까요?
위 식은 a의 5승 나누기 a의 3승으로 분수 형태로 나타내면 아래와 같아요
분수 형태로 표현된 식을 약분하게 되면 정답은 아래처럼 a의 2승이겠죠?
이는 결국에, 밑이 같은 친구끼리 나눌 땐 앞에 지수인 5와 뒤에 지수인 3을 빼면 된다로 해석할 수 있어요!
그래서 우리는 이제부터 이렇게 기억하면 돼요!
"아~ 밑이 같은 친구끼린 지수끼리 서로 빼면 되겠구나~" 라고요! 😤
🐤 Section 03-3. 지수법칙
: 세 번째로 배워볼 지수 법칙은 "지수와 지수가 붙어 있을 땐 곱해서 하나로 합칠 수 있다" 예요
아래 식을 살펴볼까요?
위 식은 a의 3승을 2번 곱하라는 뜻으로, a의 6승이 정답이 됩니다
이는 지수인 3과 2를 곱해서 쉽게 풀 수 있습니다
아래처럼요!
그리고 위 식은 지수끼리 서로 자리도 바꿀 수 있답니다
아래처럼요 (짜란!)
따라서 이를 일반화 된 식으로 표현하면, 아래와 같이 정리할 수 있겠네요😊
🐤 Section 03-4. 지수법칙
: 마지막으로 배워볼 지수 법칙은 "곱꼴의 지수나 분수꼴의 지수는 각각 지수다" 예요
아래 식을 살펴볼까요?
위 식은 a와 b를 곱한 ab를 3번 곱하라는 뜻으로, 풀어보면 아래와 같은 값이 나옵니다
이와 같이 곱꼴 형태의 지수식을 쉽게 풀기 위해선 각각 지수를 해주면 됩니다
즉, 곱꼴 형태의 ab의 지수는 3이므로 a의 지수로 3을, b의 지수로 3을 각각 해주고 곱하면 됩니다
마찬가지로 분수꼴일 때도 아래와 같이 해주면 됩니다 😊
🐤 Section 04. a⁰ 정의
: 지금까지 우리는 지수에 대해서 알아보았고,
실수 지수일 때도 지수법칙이 성립함을 함께 살펴보았습니다
이제 이 지수법칙을 이용하여 a⁰ 에 대해 함께 살펴볼까요?
a의 3승 나누기 a의 3승은 위와 같이 1입니다
그리고 위 식을 지수법칙을 이용하여 다르게 표현하면, 아래와 같습니다
결국 a의 3승 나누기 a의 3승은 a의 0승으로 표현할 수 있고,
이는 1이라는 값을 가진다는 것을 알 수 있습니다
그렇다면, 밑이 0이고 지수가 0인 0의 0승도 1일까요?
정답은 X입니다😯
왜냐하면 아래 식과 같이 0은 0으로 나눌 수 없을 뿐더러
나올 수도 정의할 수도 없는 불능이기 때문입니다
따라서
0이 아닌 모든 수의 0승은 1이라는 것을 알 수 있습니다😊
🐤 Section 05. 역수
: 방금 전 우리는 a⁰ 에 대해 알아보았는데요..!
이번 시간에는 a⁰ 을 이용하여 역수에 대해 알아봅시다
아래는 a의 3승과 a의 -3승을 곱하고 있는 식입니다
위 식을 풀어보면 아래와 같이 1이 나오게 되는데요?
이를 통해 우리는 a의 3승과 a의 -3승이라는 두 수가 곱해서 1이 나오는,
서로 역수 관계라는 것을 알 수 있습니다😊
따라서 우리는
지수의 마이너스는 음의 개념이 아닌 역의 개념이라는 것을 알 수 있습니다
🐤 Section 06-1. 시작하기 전 : 분수 지수
: 자! 이제 마지막 Section입니다
이번에 우리가 배울 내용은 분수 지수인데요!
시작하기전에! 돌발 질문을 해볼게요 😁
여러분 "제곱해서 5가 되는 수는 뭘까요?"
맞아요! 👍🏻
루트 5입니다
그렇다면 "제곱해서 100이 되는 수는 뭘까요?"
정답은 10입니다!
마지막 질문!
"세제곱해서 5가 되는 수는 뭘까요?"
배운적 없다고요?
맞아요, 우린 아직 배운적이 없지만 "세제곱해서 5가 되는 수"는 아래와 같아요
우리가 지금까지 배운 "제곱해서 5가 되는 수"인 "루트 5"나 "제곱해서 10이 되는 수"인 "루트 10"은
모두 앞에 2가 생략된 아래와 같은 형태예요
이제 여기까지 대충 이해했다고 생각하고 분수 지수 시작해볼게요 😉
🐤 Section 06-2. 분수 지수
: 여러분 !
아래 식을 해석하면 어떻게 될까요?
"세제곱했더니 a의 2승이 되었네!" 라고 간단하게 해석이 되겠죠?
그렇다면 위 식과는 다른 식인 아래 식을 해석하면 어떻게 될까요?
"세제곱해서 a의 2승이 되는 수"로 해석할 수 있겠죠
결국 두 식은 세제곱해서 a의 2승이 되는 수로 아래와 같이 표현할 수 있고,
분수 지수를 통해 루트를 표현할 수 있음을 알 수 있습니다
그런데 여기서 주의할 점이 있습니다!
바로 밑이 양수여만 가능하다는 점이죠?
왜 양수만 가능한지는 아래 두 식을 함께 살펴봅시다
첫 번째 식은 아래와 같이 지수끼리 곱한 후에 나온 결과 입니다
두 번째 식은 아래와 같이 안에 지수를 먼저 풀어 준 후에 다시 변환 후 나온 결과 입니다
두 식은 모두 밑이 음수인 같은 식입니다
하지만 -8과 8이라는 서로 다른 결과를 내는 아이러니한 상황이 발생했습니다
때문에 우리는 분수 지수를 할때는 무조건 밑이 양수여야 한다는 것을 알 수 있습니다
(일종의 수학자들끼리의 약속)
🐤 Section 07. Finish
: 한 번 쓰는데만 시간이 거의 3시간 이상이 걸려 너무너무 힘들었지만,
저도 이해하고 읽는 여러분도 이해하길 바라는 마음에 열심히 정리해 보았어요 😭
(((그래도 이왕 이렇게 다 쓰고 나니 뿌듯뿌듯..🤭))
꾸준히 써보려고 노력은 할거지만...!!
공부하는 양에 비해 블로그 쓰는 속도가 느려서 (매일 강의 6개 듣고 필기하고 필기본으로 블로그쓰는...)
살짝 걱정이지만..!!
그래도 우리 끝까지 파이팅 해봐요 😉
수포자인 제가 정말 열심히 노력하고 글쓸테닌깐, 이거 보시는 수포자분들 다들 포기하지마세요!
글 읽느라, 오늘 하루를 열심히 사느라 모두 수고 많았어요 👍🏻
[ 참고: 사진 출처_클릭]
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