02. 거듭 제곱근의 성질과 지수의 이동
🐤 Section 00. Before the start
: 저번 시간에는 "01. 지수법칙과 지수의 확장"이라는 주제로
지수에 대해 알아보았는데요?
이번 시간에는 "거듭 제곱근의 성질과 지수의 이동"에 대해 알아볼 거예요😊
🐤 Section 01. 거듭 제곱
: 시작하기에 앞서..!
여러분, 거듭 제곱의 정의가 무엇인가요?
저는 워낙 수학과 담을 쌓고 살아서, 거듭 제곱이 단순히 같은 수를 두 번 반복한 것이라고
잘못 이해하고 살았어요😅
그래서 거듭 제곱을 제대로 이해하고자 찾아보았는데요..!
그 결과,
"수학에서 거듭 제곱은 같은 수를 거듭하여 곱한 것으로, 주어진 수를 주어진 횟수만큼
여러 번 곱하는 연산이다." [위키백과]
라고 정의 되어 있더라고요
쉽게 말해, 같은 수 또는 문자를 여러 번 곱한 것이 거듭 제곱이더라고요🤭
그렇다면 수학에서 자주 사용되는 거듭 제곱의 형태는 어떻게 될까요?
바로 아래 표와 같아요!
((위 표는 외워두면 좋으니, 시간 날 때 틈틈이 외워두길 바라요! 😉))
🐤 Section 02-1. 거듭 제곱근의 성질
: 이번에 배워볼 내용은 "거듭 제곱근의 성질"인데요 (((빠밤!
첫 번째로 배워볼 거듭 제곱근의 성질은 "곱꼴 또는 분수꼴이면 분리할 수 있다" 예요
아래 식을 함께 살펴볼까요?
위 식은 ab의 곱꼴의 형태로 ab의 m제곱근이 a의 m제곱근 곱하기 b의 m제곱근으로
분리된 것을 볼 수 있어요!
그렇다면 위 식은 왜 가능할까요?
저번 시간, 우리는 루트는 분수 지수형태로 표현할 수 있다고 배웠어요
때문에 m제곱해서 ab가 되는 수를 ab의 m분의 1승으로 표현할 수 있어요
그리고 이어서 ab의 m분의 1승은 "곱꼴의 지수는 각각 지수다"라는 4번째 지수법칙에 의해,
a의 m분의 1승 곱하기 b의 m분의 1승으로 표현할 수 있어요
끝으로 이렇게 나온 a의 m분의 1승 곱하기 b의 m분의 1승은 다시 루트 형태로 바꿀 수 있기에,
최종적으로 m제곱해서 a가 되는 수 곱하기 m제곱해서 b가 되는 수가 나오게 되는 거예요😯
단 여기서 주의할 점이 있어요
바로, 밑이 양수일 때만 가능하다는 거예요!
왜냐하면 분수 지수는 양수일 때만 가능하기 때문이에요!(기억 안 나면, 클릭 (Section 06-2로 가세요!))
때문에 위 성질은 a와 b가 양수일 때만 가능해요 😊
추가로 분수꼴의 형태는 아래와 같아요!
🐤 Section 02-2. 거듭 제곱근의 성질
: 두 번째로 배워볼 거듭 제곱근의 성질은 "제곱근을 하나로 합칠 수 있다" 예요
아래 식을 함께 살펴볼까요?
위 식은 m제곱근과 n제곱근이 하나로 합쳐진 형태입니다
이때, 위 식이 가능한 이유는
Section 02-1에서의 과정과 똑같이 m제곱근과 n제곱근을 분수 지수 형태로 바꿔준 후
"지수와 지수가 붙어 있을 땐 곱해서 하나로 합칠 수 있다"라는 3번째 지수법칙을 하게 되면,
m제곱근과 n제곱근을 하나로 합칠 수 있기 때문이다.
그래서 결과적으로 분수 지수인 mn분의 1을 루트형태로 바꾸면 위와 같이
mn 제곱해서 a가 되는 수가 되는 겁니다 (위 식과 같이요!)
이때 두 번째 거듭 제곱근의 성질도 첫 번째 거듭 제곱근의 성질과 마찬가지로,
밑이 양수일 때만 가능합니다!
"설명이 어려울 수도 있겠다"라는 생각에 쉽게 요약 설명하면,
"밑이 양수이고, 지붕이 여러 개일 땐 하나로 합칠 수 있다"라고 이해해 주시면 될 듯싶습니다
문제 한번 풀어볼까요?
정답은 아래와 같아요!
(핵심은 하나로 합친다!)
🐤 Section 02-3 ~ 03. 거듭 제곱근의 성질과 거듭 제곱의 대소관계
: 지금까지 우리는 거듭 제곱의 정의와 거듭 제곱근의 성질에 대해 알아보았어요!
이번 Section 02-3 ~ 03에서는 거듭 제곱근의 마지막 성질과 거듭 제곱의 대소관계에 대해서
알아볼 거예요😉
여기서, 거듭 제곱의 대소관계란? (뚜둥!
말 그대로 거듭 제곱되어 있는 친구들끼리 누가 큰지 누가 작은지 살펴보는 것이
바로, 거듭 제곱의 대소관계인데요,
거듭 제곱의 대소관계를 살펴보는 것은 생각보다 간단합니다
딱, 이것만 기억하면 돼요!
"지붕이 똑같으면 알맹이끼리 비교할 수 있다"
아래 식 함께 살펴볼까요?
위 식은 지붕이 2로 같은 것을 알 수 있어요
때문에 알맹이끼리 비교하면 2가 가장 작고 5가 가장 크므로..!
위와 같이 대소관계가 나타남을 알 수 있어요
그러면 만약에 지붕이 다르면 어떻게 할까요?
이때 해결책이 바로 거듭 제곱근의 마지막 성질을 이용하는 거예요!
거듭 제곱근의 마지막 3번째 성질은 아래와 같아요
이때 위 식이 가능한 이유는
아래와 같이 분수 지수형태로 나타내면 p가 모두 약분되기 때문이에요!
다만, 이 성질을 사용할 때 주의할 점은 지붕만 p를 곱하거나 알맹이만 p승하는 것이 아닌
둘이 함께 p를 곱해줘야 돼요! (지붕에 p만큼 곱하면 알맹이인 a의 n승에도 똑같이 p만큼 곱해줘야 해요)
그 이유는, 똑같은 값을 곱해줘야 위 식처럼 둘이 약분이 돼서 원래 형태로 돌아갈 수 있기 때문이에요!😊
아! 참고로 이때도 다른 거듭 제곱근의 성질들과 마찬가지로 분수 지수를 이용하는 것이므로
밑이 양수여야 해요!
그래서 다시 본론으로 돌아가면..!
지붕이 다를 때 대소관계를 보는 방법은 위 성질을 이용하는 것으로,
아래와 같이 대소관계를 판단할 수 있어요
((위 문제는, 지붕이 서로 다르므로 거듭 제곱근의 마지막 3번째 성질을 이용하여,
지붕을 같게 만들어준 후 알맹이끼리 비교하여 대소관계를 표시했음을
똑똑한 여러분이라면 알 수 있겠죠?😉))
🐤 Section 04. 역수의 합
: 이번에 배워볼 내용은 역수의 합이에요!
역수의 합은 "지수 2배 공식"과 "지수 3배 공식"만 기억하면 되는데요?
역수의 합에서 첫 번째로 배워볼 공식은 "지수 2배 공식"으로,
아래와 같습니다
위 식을 통해서도 알 수 있겠지만,
지수 2배 공식은 제곱의 합을 이용해서 구합니다 (지수 2배 공식은 완전제곱식에서 나왔어요!)
이어서 두 번째로 배워볼 공식은 "지수 3배 공식"으로,
지수 3배 공식은 아래와 같습니다
마찬가지로 위 식을 통해서도 알 수 있겠지만,
지수 3배 공식은 세제곱의 합을 이용해서 구한 것입니다 (지수 3배 공식은 세제곱식에서 나왔어요!)
그렇다면 왜 "지수 2배 공식"과 "지수 3배 공식"이라고 저는 표현했을까요?
그 이유는 a 더하기 a분의 1을 t로 치환했을 때,
a의 2승 더하기 a분의 1의 2승은
a 더하기 a분의 1승의 지수를 2배 한 것으로 볼 수 있고,
a의 3승 더하기 a분의 1의 3승은
a 더하기 a분의 1승의 지수를 3배 한 것으로 볼 수 있기 때문입니다
(결론적으로 쉽게 이해하고, 응용하고자 "지수 2배 공식"과 "지수 3배 공식"으로 표현했습니다)
그래서 "지수 2배 공식"과 "지수 3배 공식"을 최종적으로 아래와 같이
정리할 수 있습니다 (참고로, a 더하기 a분의 1을 t로 치환한겁니다🤭)
🐤 Section 05. 지수의 이동
: 이제, 마지막 Section 05로...! 이번에 배워볼 내용은 지수의 이동이예요😉
지수의 이동은 오늘 배운 것중에 가장 쉬운데요?
결론부터 말하면, "지수가 이동하면, 그 지수는 역수"가 됩니다
이제 함께 아래 식을 살펴볼까요?
위 식은 2차 방정식인 "x의 2승 = 25"로,
제곱해서 25가 되는 수라는 개념을 이용하여 x의 값을 구했습니다
하지만 개념을 이용하는 방법 외에 x값을 쉽게 구하는 방법이 있습니다
바로, "지수의 이동"을 이용하는 것입니다
아래는 지수의 이동을 이용하여 x의 값을 구한 식입니다
위 식을 통해 알 수 있겠지만, x를 구하기 위해 x의 지수인 2를 우항으로 보낼 때 (지수가 이동할 때)
지수가 역수가 되었다는 것을 알 수 있습니다
🐤 Section 06. Finish
: 긴 글 읽느라 수고많았어요 👍🏻
읽다가 헷갈리는 부분이나 틀린 부분 있으면, 댓글에 살짝! 남겨주는 센스! 아시죠? 😁
오늘 하루도 좋은 하루 보내세요😊
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