04. 원순열

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04. 원순열

 

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🧸 01. Intro

       : 안녕하세요, 삐약 은지입니다😊

         오늘은 순열에 특화된 유형 3가지 중 하나인 "원순열"에 대해 살펴보려고 합니다

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🧸 02. 원순열

       : ‘원순열’이라는 이름은 주로 원형 탁자에서 순열을 표현했기 때문에 붙여진 이름입니다

 

         원순열의 가장 큰 특징은 회전시켜도 동일한 모양이 된다는 점인데요 🤔
         예를 들어, 아래 그림처럼 돌림판이 있다고 가정해보겠습니다

         이 돌림판을 회전시키면, 회전 전과 후의 모습이 완전히 같다는 것을 알 수 있습니다

         그렇다면 이런 원순열은 어떻게 풀어야 할까요? 🤔

 

         사실 지금까지 배운 순열은 
         각 자리에 고유한 번호(첫 번째 자리, 두 번째 자리, …)가 있는 경우로

         원순열과 반대되는 개념인 ‘직순열’이라고 부릅니다

         

         하지만 원순열은 회전을 하든 안 하든 형태가 동일하기 때문에,
         각 자리에 고유한 번호가 존재하지 않습니다

     

         이런 이유로 원순열 문제를 풀기 위해서는
         먼저 하나의 자리를 임의로 고정하여 직순열 형태로 바꿔줘야 합니다 🧐

 

         여기서 하나의 자리를 먼저 고정해주는 이유는

         그 자리를 기준으로 왼쪽과 오른쪽의 순서를 구분할 수 있게 되기 때문입니다
         즉, 고정된 자리를 기준으로 고유한 번호가 생기기 때문입니다 (직순열 완성!)

 

         이렇게 설명만 하면 이해가 안될 수 있기에

         예제를 하나 가져와 봤는데요 😊

    

         8개의 자리가 있고 8명이 자리에 앉는 경우의 수를 구한다고 가정해보겠습니다

         이때 아래 그림은 회전 전과 후의 모습이 동일하므로 이 경우는 ‘원순열’에 해당합니다 

 

         이제 원순열을 풀기위해 먼저 아무 자리 하나를 고정합니다
         앞서 말했듯이 어느 자리를 선택해도 회전시키면 그만이기에,
         자리를 선택하는 방법은 8C1이 아닌 1가지 입니다

         이제 남은 7자리에 7명을 배치하면 됩니다
         이때는 이미 기준점(위 그림에서 주황색 부분)이 생겼기 때문에
         좌우가 구분되는 직순열 형태로 문제를 풀 수 있습니다

 

         따라서 7명이 7자리에 앉는 경우의 수는 7!(factorial)이 됩니다 😊

         결과적으로 원순열의 총 경우의 수는 1X7!이 됩니다

 

         이 과정을 일반화하면,
         n개의 자리에 대한 원순열의 경우의 수는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다

         즉, 기준이 되는 자리를 하나 고정하고

         나머지 (n-1)개의 자리에 대해서 직순열을 이용하여 경우의 수를 구해주면 됩니다

         → 나머지 자리에 대해 나머지 사람들이 모두 앉는 방법의 수 = (n-1)!

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🧸 03. 마무리

       : 이번 시간에는 "원순열"에 대해 배워보았는데요,

         다음 시간에는 순열에 특화된 2번째 유형에 해당하는 "중복 순열"에 대해 살펴보겠습니다 😊

         그럼 모두 안녕 ~👋

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