06. 같은 것을 포함하는 순열

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06. 같은 것을 포함하는 순열

 

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🧸 01. Intro

       : 안녕하세요, 삐약 은지입니다😊

         오늘은 순열에 특화된 유형 중 마지막 3번째에 해당하는

         "같은 것을 포함하는 순열"에 대해 살펴보겠습니다

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🧸 02. 같은 것을 포함하는 순열

       : ‘같은 것을 포함하는 순열’이란

         서로 같은 문자가 여러 개 포함된 경우의 순열을 의미합니다

 

         예를 들어, "banana"라는 영어 단어를 가지고 설명해보겠습니다 

         위 단어는 a가 3개, n이 2개로 같은 문자가 여러 번 등장합니다

 

         그렇다면 banana라는 영어 단어에서 

         알파벳 b, a, n, a, n, a 로 만들 수 있는 형태는 몇 가지일까요?

 

         우선 전체 알파벳의 개수가 총 6개가 존재하므로,

         6개를 나열하는 방법의 수는 6!(factorial)입니다

         하지만 여기서 문제가 하나 발생하는데요 😯

         b, a, n, a, n, a에서 a와 a가 서로 자리를 바꾸는 것은 의미가 있을까요?

 

         정답은 "아니요" 입니다

         왜냐하면 한 가지 예를 들어보면,

         banana에서 1번째 a와 2번째 a를 바꾼다고 가정해보겠습니다

         그러면 결과가 어떻게 될까요?

 

         바꾸기 전과 동일한 banana가 됩니다 

         즉, 서로 같은 문자를 바꿨기에 실제 단어는 달라지지 않게됩니다 

         따라서 같은 문자를 서로 바꾸는 경우는 서로 구별할 수 없으므로
         이 중복된 경우를 제거해주어야 합니다

 

         그래서 예제를 이어서 풀어보면,

         a가 3개 있으므로 a 3개가 만들 수 있는 경우의 수인 3!과

         같은 문자인 b 2개가 만들 수 있는 경우의 수인 2!를

         전체 순열에 나눠줌으로서 중복을 제거해줍니다

         아래와 같이요!

         사실 같은 것이 있는 순열은 "특정 문자의 순서를 결정/고정"할 때도 활용될 수 있습니다

         

         예를 하나 들어보겠습니다

         영희와 철수와 흥민이를 포함하여 총 10의 학생들이 있습니다

         이때 영희 앞에 철수가, 철수 앞에 흥민이가 오도록 총 10명의 줄을 세운다면,

         "영희 → 철수 → 흥민"이는 자리를 바꾸면 안되기에(순서가 고정되어 있어야 하기에),

         세 사람이 자리를 바꾸는 경우를 제외시켜줘야 합니다

         

         따라서 세 사람이 자리를 바꾸는 경우의 수는 총 3!(factorial)이기에, 

         결과적으로 아래와 같이 수식을 작성할 수 있습니다

         결국 정리하면 같은 것을 포함하는 순열은

            ① 같은 문자를 포함할 때

            ② 특정 문자의 순서를 결정할 때

         서로 자리를 바꾸는 것을 막기 위해 전체 순열에

         ①-②에 해당하는 순열을 나눠서 제거해주어야 합니다

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🧸 03. 최단 거리

       : ‘같은 것을 포함하는 순열’의 대표적인 응용 예시는 바로 최단 거리 문제입니다

         예를 들어, 아래 그림처럼 A에서 B까지 이동하는 최단 거리를 구한다고 가정해보겠습니다

         이때 A에서 B까지 최단 거리로 이동하기 위해서는
         다음 두 가지 방향으로 움직이면 됩니다 (사진 참고)

          ① 위쪽으로 5번

          ② 오른쪽으로 6번

         즉, 전체적으로 총 11번의 이동(= 5 + 6) 중에서
         위쪽과 오른쪽 이동의 순서를 어떻게 배열하느냐에 따라
         A에서 B로 갈 수 있는 서로 다른 최단 거리의 수가 결정됩니다 😯

         

         따라서 최단 거리 문제를 "같은 것을 포함하는 순열"로 나타내면

         아래와 같이 표현할 수 있습니다 

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🧸 04. 마무리

       : 오늘은 순열의 특화된 마지막 유형,
         바로 ‘같은 것을 포함하는 순열’에 대해 함께 살펴보았습니다 😊

         다음 시간에는 조합의 특화된 유형인 ‘중복 조합’에 대해 알아볼 예정입니다 

 

         참고로, 이번에 배운 내용을 복습할 수 있도록
         ‘같은 것을 포함하는 순열’과 관련된 추가 문제를 준비했으니
         관심 있는 분들은 아래〈05. 추가 문제〉를 꼭 한 번 풀어보길 추천드립니다

 

         그럼 모두 안녕~ 👋

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🧸 05. 추가 문제 

       : 아래는〈 2025년 수능특강: 확률과 통계 - 예제 3번 〉문제입니다

        [문제 풀이]

          ⓐ 우선 사과 나무를 A, 감 나무를 G, 귤 나무를 T라고 가정하면

               나무를 아래와 같이 배치할 수 있습니다

               → GGGGG A TTT

          ⓑ 이때 지문에서 사과 나무, 감 나무, 귤 나무의 순서(GGGGG A TTT)가 고정되어 있기에,
               이를 일반화해서 표현하면 예를 들어, 아래와 같이 나타낼 수 있습니다

               → XXXXX X XXX

              ▶ 이해가 안된다면 · · ·

                  : 앞서 "특정 문자의 순서를 결정/고정" 할 때 
                    자리를 바꾸지 않는다는 것은 곧 해당 순서를 고정하여 사용하겠다는 의미와 같다고 배웠습니다

           ⓒ 결국 문제를 풀어보면 전체 나무의 개수가 12그루이므로 기본적으로 12!이고,
                이 중 같은 나무(배 나무)가 2그루 있으므로 2!로 나누어 중복을 제거합니다

                또한 ⓐ에서처럼 9그루(감·사과·귤)의 순서가 고정되어 있으므로,
                이 9그루의 순서를 바꾸는 경우를 제외하기 위해 9!로 한 번 더 나누어줍니다

 

            따라서, 최종 정답은 아래와 같이 나오게 됩니다 😊

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